Actualisation et capitalisation

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capitalisation-et-actualisation

 

La capitalisation :

La capitalisation revient à calculer la valeur de capital après un certain nombre de périodes depuis le démarrage de l’opération.

On répond à la question combien j’aurai d’argent avec X euros placés à y pour cent au bout de Z temps

 

L’actualisation :

L’actualisation revient à calculer de nos jours la valeur d’un capital depuis sa valeur dans un futur.

On répond à la question combien valent maintenant X euros futurs qui ont été placés à y pour cent au bout de Z temps

 

Nous aborderons les calculs financiers permettant de s’intéresser aux principales questions de la finance.

 

 

Ce qu’il faut savoir avant d’aller plus loin

Avant de commencer ce premier thème, il est nécessaire d’étudier certains connaissances se référant au taux d’intérêt utilisé.

 Termes employés pour se référer au taux d’intérêt

– Le taux annuel

Afin de définir un taux utilisé durant une opération financière, on utilise le terme taux annuel. Ce dernier peut être calculé proportionnellement au taux correspondant si la durée de calcul est inférieur à une année.

Exemple

-Soit un taux annuel de 6%

Question : Quel est le taux mensuel et le taux trimestriell proportionnels

Le taux mensuel proportionnel : 5% x 1/12 = 0,05

Le taux trimestriel proportionnel : 6% x 3 /12 = 1,5

Attention proportionnel ne veut pas dire équivalent, avoir 6% annuel ou 0,05% mensuel n’est pas pareil, car avoir 0,05 mensuellement permet de réinvestir et au final d’avoir un peu plus de 6% annuel.

 

Taux fixe ou taux variable ?

Lors d’opération financières, il peut être nécessaire d’utiliser deux termes différents :

  • Taux variable : c’est un taux qui peut être révisé à certaines échéances par un taux clairement déterminé sur le marché.
  • Taux fixe : c’est un taux qui ne changera pas jusqu’à fin de l’opération financière.

 

 

Des taux nominaux ou taux réels

Lorsque l’on fait un calcul, le taux que l’on utilise est le taux nominal. Mais le gain que l’on calcule s’il y a placement ne va pas correspondre au gain réel. Pour quelle raison ? L’inflation qui vient grignoter une partie de la somme placée.

Le taux réel est le taux nominal soustrait de l’inflation

 

Celui – ci permet de passer des sommes exprimées en euros courants à des sommes exprimées en euros constants.

Les prix courants sont les prix tels qu’ils sont indiqués à une période donnée, ils sont dits en valeur nominale. Les prix constants sont les prix en valeur réelle c’est-à-dire corrigés de la variation des prix par rapport à une donnée de base ou de référence. On utilise de la même façon les termes euros constants et euros courants. Si on prend en euros courant on à l’impression que le prix des biens explose en quelques années.

Note : le taux réel est le plus souvent inférieur au taux nominal.

 

Formule taux réel et taux nominal :

1euro auquel on ajoute le taux réel sera égal à ( 1euro + taux nominal ) divisé par ( 1euro + taux de l’inflation )

Désignons par t le taux d’intérêt nominal, par r le taux d’intérêt réel et par i le taux de l’inflation, on peut écrire la relation suivante (pour un montant de 1 € et un placement sur un an) :

taux-nominal-taux-reel

 

 

Calculez le taux d’intérêt réel a d’un placement à 3 % sachant que le taux d’inflation est de 2 %.

1+r=1,03/1,02      r=1-1,03/1,02= environ 0,98%

Si le calcul est effectué à un moment où le taux de l’inflation est faible, alors le calcul revient à calculer :

taux réel = taux nominal – taux de l’inflation

où r = t – i

r= 3%-2%=1%

Mais encore une fois il s’agit d’une simplification !

 

Les cas les plus souvent constatés sont égaux aux expressions suivantes :

  • Si le taux nominal est inférieur au taux de l’inflation alors la perte provoquée par l’inflation ne peut pas être compensée par les gains effectués
  • Si le taux nominal est égal au taux de l’inflation, alors il n’y aura aucun gain réel
  • Si le taux nominal est supérieur au taux de l’inflation, alors il y a un gain réel.

 

Comment évolue un taux d’intérêt ?

Les spécialistes ont constaté que les taux d’intérêts sont susceptibles d’être sujets de nombreuses fluctuations parfois lourdes sur un court moment. Si de nombreuses variables peuvent expliquer ces fluctuations, les principales causes peuvent être entres autres le niveau de croissance économique, le niveau proportionnel au risque de l’inflation ou encore les politiques imprévues menées par les banques.

Néanmoins, malgré tous ces possibles revers, il est possible de constater que les investissements à long terme présentent très souvent des intérêts plus élevés que les investissements à court terme. On remarquera tout de même que, généralement, le taux variera selon la durée de l’opération qui lui est affiliée et que ces mêmes taux au même moment peuvent être différents selon le pays.

 

Des intérêts qui peuvent être simples ou composés

On peut obtenir le résultat des intérêts sur une somme placée de deux moyens différents :

  • Si l’on calcule uniquement les intérêts obtenus sur le capital, alors le calcul se fait simplement en une fois et de manière proportionnelle à la durée de l’opération ou du placement. Ce type d’intérêts se nomme intérêts simples.
  • Si l’on calcule le total des intérêts obtenus sur le capital comme sur les intérêts, alors le calcul se fait de telle manière que les intérêts soient ajoutés au capital à chaque échéance. Ce type d’intérêts se nomme intérêts composés.

 

Le calcul de ces intérêts selon la durée de l’opération :

  • Pour des opérations dont la durée inférieure ou environ égale à une année, on calcule des intérêts simples.
  • Pour des opérations dont la durée est supérieure à une année, on calcule des intérêts composés.

exemple:

Calculons le montant des intérêts simples et des intérêts composés d’ un placement de 50 000€ sur 3 an au taux de 10%

En intérêts simple : On gagne 10% sur 50 000 x 3 ans donc 500000,13=5000*3=15000

c’est une suite arithmétique , si on veut calculer le total : Un=U0 +nr     ou 65000=50000+ 3(50000*10%)

En composé , c’est une suite géométrique

on peut décomposer de plusieurs manières

rappel: multiplier par 10% revient à faire *0,1 car 10%=0,1

50000 *0,1=5000 montant des intérêts fin de la première année

55000*0,1=5500 montant des intérêts fin de la seconde année

60500*0,1=6050 montant des intérêts fin de la troisième annés

Total = 5000+5500+6550=16550

ou encore avec la formule des suite géométrique Un=U0*(1+i)puissance n

50000*(1+01)puissance 3 =66550 , c’est la somme totale des intérêts plus le capital, si on veut juste les intérêts on fait moins les 50000 de départ = 16550

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Capitaliser

Même en l’absence d’inflation, un placement doit être rémunéré. En effet, placer une somme suppose une renonciation à une consommation immédiate en contrepartie, d’une consommation futur plus grande (définition en économie).

Capitaliser revient à répondre à la question combien je vais avoir si je place X euros au taux y dans n années?

L’être humain à été programmé par l’évolution pour donner d’avantage d’intérêt au présent qu’au futur (consommer sa viande maintenant permet de ne pas se la faire voler et donc de mourir, donc ceux qui consomment maintenant avaient plus de chance de survivre).Pour qu’il renonce à consommer maintenant, il va falloir qu’il est donc plus après.

Il faut aussi rémunéré le risque du placement.

 Le terme Capitaliser

Le terme capitaliser revient à calculer les bénéfices obtenues par une somme placée sur une période donnée

 

Généralement, l’échelle utilisée pour la capitalisation est l’année mais cette échelle peut varier selon cas.

Le principe de capitalisation est tel que les intérêts obtenus sur une période donnée viendront s’ajouter au capital à la fin de cette période donnée afin de pouvoir calculer intérêts qui seront obtenus lors de la période suivante.

en termes plus simples si on est sur un jeux avec des cases, à chaque fois que l’on avance on gagne 10% , on commence avec 1000, on avance d’une on gagne 10% sur les 1000, on avance encore d’une on gagne 10% sur 1100, encore une et c’est 10% de 1210… On ne fait que cumuler.

 

 

Lors d’un tel principe, peut parler d’intérêts capitalisés et l’on est à même de dire que les intérêts seront des intérêts composés.

Cette courbe représente le gain des intérêts composés
Cette courbe représente le gain des intérêts composés

Note: La valeur acquise est toujours d’autant plus grande qu’il y des intérêts élevés et une durée longue, c’est tout la puissance des intérêts composés.

Anecdote marrante:

La légende se situe 3 000 ans av. J.C.

Le roi Belkib (Indes) promit une récompense fabuleuse à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait.
Lorsque le sage Sissa, fils du Brahmine Dahir, lui présenta le jeu d’échecs, le souverain, demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en échange de ce cadeau extraordinaire.

Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l’échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case.
Le prince accorda immédiatement cette récompense sans se douter de ce qui allait suivre.

la réponse, est selon la formule des intérêts composés 1(1+100%)puissance 63=12puissance 63= 263 grains = 9 223 372 036 854 775 808 grains soit environ 9,22×1018
Plus de 9 milliards de milliards de grains !

  • La production mondiale de riz est estimée par le FAO à 699 millions de tonnes en 2010.
  • Le poids moyen d’un grain de riz est difficile à estimer mais il tournerait autour de 0,04 g.
  • 18 milliards de milliards de grains de riz ont une masse de :

18 ×1018 × 0,04 g = 7,2 × 1017 g = 7,2 × 1011 tonnes = 7,2 × 105 millions de tonnes

720 000 millions de tonnes !

 

  • Il faudrait donc plus de 1 000 ans de production mondiale de riz de 2010 (sachant qu’elle est bien plus importante que dans le temps) pour atteindre cette faramineuse quantité !

Les différents calculs de capitalisation

 

Valeur acquise d’un capital unique placé pendant n périodes

C’est par exemple 1000 euros placés à 10% pendant 3 ans

on a la fin de la première période la somme totale (intérêts+capital) 1000+ 1000*10% =1100

la seconde 1100 + 1100*10%= 1210

la troisième 1210+1210*10%=1331

La formule des suites: Cn = C0 (1+i)puissance n

i=taux interets, n nombre de période, C0 somme de départ, Cn somme au bout de n temps

exemple 1331 = 1000*(1+10%)puissance 3 =1331

remarque: attention au nombre de périodes, surtout si on utilise des semestres, des mois au lieux de périodes complètes (souvent l’année)

 

 

Valeur acquise de plusieurs versement au cours de n périodes

 

La valeur acquise totale correspond à la somme des valeurs acquises relatives à chaque versement :

VM =  a +a(l + t) + … + a(l + t)puissance (n- 2) + a( 1 + f)puissance (n- 1)

On constate que l’on a une suite géométrique (premier terme : a ; nombre de termes : n ;

raison : (1 + t)).

La somme de ces n termes est :

capitalisation-de-plusieurs-versements

formule versement fin de période Vn= a* (((1+t)puissance n)-1)/t

 

formule versement début de période est Vn= a*(   (((1+t)puissance n)-1)/t   )  (1+t)

versement fin de période

Vn=a * ((1+t)puissance n-1)/((1+t)-1)

Vn=a * ((1+t)puissance n-1)/t

 

Précisions nécessaires à l’application de la formule :

• n = nombre de sommes constantes versées ;

• t = i  ,  taux intérêts correspondant à la période retenue ;

• a = montant versé à la fin de chaque période.

attention il s’agit de la formule des SOMMES de la suite géométrique contrairement à avant ou il agissait de savoir le montant n d’une suite.

exemple 1

versements fin de période

C’est par exemple 1000 euros versés à 10% pendant 3 ans en fin de période

1000 fin première période ils donnent donc 2 ans intérêts 10001,11,1=1210

1000 fin seconde période ils donnent donc 1an intérêts 1000*1,1=1100

1000 fin troisième période ils donnent donc 0an intérêts

1210+1100+1000=3310

formule 1000* (((1+10%)puissance 3)-1)/10%=3310

En début de période

 

1000 versés début, à la fin première période ils donnent donc 3 ans intérêts 10001,11,1*1,1=1331

1000 versés début, à la fin première période ils donnent donc 2 ans intérêts 10001,11,1=1210

1000 versés début, à la fin première période ils donnent donc 1 an intérêts 1000*1,1=1100

 

formule fin de période 1000* (((1+10%)puissance 3)-1)/10%=3310

ce qui est erroné

car 1210+1100+1331=3641

La bonne formule est  1000*( (((1+10%)puissance 3)-1)/10%  ) *(1+10%)=3641

ou 1000(1+10%)( (((1+10%)puissance 3)-1)/10%  ) =3641

 

 exemple 2

50000 euros sont versés toutes les fin d’années pendant 12 ans, taux intérêts 10%

Attention comme il y a versement en fin d’année, il y a 11 période et non 12 car on verse 50000 à la fin de la 12 ème années, mais il n ‘y a pas d’intérêts produits.

V12= 50000(1+10%)puissance 11

+50000(1+10%)puissance 10

+50000(1+10%)puissance 9

+50000(1+10%)puissance 8

+50000(1+10%)puissance 7

+50000(1+10%)puissance 6

+50000(1+10%)puissance 5

+50000(1+10%)puissance 4

+50000(1+10%)puissance 3

+50000(1+10%)puissance 2

+50000(1+10%)puissance 1

+50000 (1+10%)puissance 0, juste 50000

 

quel que soit l’entier naturel n non nul, 0n = 0 et 1n = 1 on dit 0 puissance n

donc

V12= 50000(1+10%)puissance 11

+50000(1+10%)puissance 10

+50000(1+10%)puissance 9

+50000(1+10%)puissance 8

+50000(1+10%)puissance 7

+50000(1+10%)puissance 6

+50000(1+10%)puissance 5

+50000(1+10%)puissance 4

+50000(1+10%)puissance 3

+50000(1+10%)puissance 2

+50000(1+10%)

+50000 

 

attention il s’agit de la formule des SOMMES de la suite géométrique

V12=50000 *( ((1+10%)puissance12 )-1)/0,1=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L’actualisation

 

L’actualisation

L’actualisation est le fait de calculer à la valeur à nos jour d’une somme ou de plusieurs sommes futurs.

Cela répond à la question quelle est la valeur actuelle de X euros dans x années

L’actualisation est le fait de calculer à la valeur à nos jour d’une somme ou de plusieurs sommes futurs alors que la capitalisation permet de savoir ce que vaudra dans le futur une somme de nos jours.

L’actualisation permet un certain nombre de choses :

  • Savoir ce que vaut actuellement un euro dans le futur . En effet, l’actualisation permet de prédire la valeur d’un euro dans le futur, quelle que soit la période bien que cette période soit souvent d’une année.
  • Savoir à quoi seront égales des sommes que l’on attend dans un futur.
  • Pour comparer des projets qui donnent plusieurs versements irréguliers. Lorsque l’on étudie un projet d’investissement, on est amené à prévoir les résultats annuels attendus sur plusieurs années. On se retrouve alors en présence d’une suite de sommes qu’il faut ramener à une seule, pour la comparer soit au montant investi, soit au montant espéré d’autres projets d’investissement. Ces sommes, rattachées à des dates différentes, seront actualisées à une même date (en général, on se place à la date d’aujourd’hui, c’est-à-dire à la date 0).
  • Pour subvenir aux demandes des lois. De nos jours, les normes comptables nécessitent que la fin de chaque exercice d’une entreprise soit l’objet d’une actualisation afin d’évaluer certains postes de l’entreprise. Le PCG nous indique que, à la clôture de chaque exercice, l’entreprise procède à une actualisation pour évaluer certains postes de l’actif du bilan. Quand il se produit une dépréciation d’un bien à l’actif, sa valeur « réelle » (ou actuelle) doit être déterminée afin de mesurer la dépréciation subie.On retient la plus élevée des deux valeurs suivantes :-    la valeur vénale : montant pouvant être obtenu de la vente de l’actif ;-    la valeur d’usage : montant actualisé des avantages économiques futurs attendus du bien. Les calculs d’actualisation sont incontournables en finance. Nous les retrouverons par la suite à plusieurs occasions.
  • Obtenir un taux de rendement. Un taux de rendement permet de prévoir un revenu que l’on espère obtenir pour un projet. Un projet c’est une série de revenus  . Juger le projet et déterminer s’il est satisfaisant ou non par rapport au cout de l’argent (crédit ou dividendes à verser) nécessite souvent de calculer le taux de rendement espéré sur la base de ces revenus prévisionnels pour le comparer à un taux de référence (comme le cout de l’argent) ou au taux de rendement offert par d’autres placements.

Le taux d’actualisation étroitement lié à la valeur actuelle

La valeur actuelle d’un capital aura tendance à se réduire en fonction du taux et de la durée d’actualisation, c’est normal car on est dans le sens inverse des intérêts composés.

 Les formules

Afin de simplifier la chose, il est important de savoir que l’actualisation revient à faire le calcul inverse de la capitalisation soit enlever les intérêts à la somme qui nous intéresse.

Actualiser une somme unique

Cela revient à calculer de nos jours la valeur d’un capital qui sera reçu dans un certain nombre de périodes en prenant pour parti que le capital est à intérêts composés.

Exemple

Soit un capital de 2 000 euros à percevoir dans 2 ans.

Quelle est la valeur de ce capital aujourd’hui (à la date 0) si l’on retient un taux d’actualisation de 5 % ?

On peut dire que la valeur aujourd’hui (C0) placée à 5 % doit donner 2 000 au bout de 2 ans, d’où :

C0 (1,05)2 = 2 000 => C0 = 2000/(1,05puissance2)= 2 000 (1,05)puissance moins 2 = 1814,058957

donc formule de la capitalisation1814,058957 *(1,05)puissance 2=2000

Il est équivalent de disposer maintenant de 1814€ ou 2000€ dans deux ans.

 

 

 

Cela revient à faire en reprenant K comme capital, t comme taux d’actualisation et N pour année ( ou la période qui correcpond ),on obtient un calcul tel que :

K (pendant par exemples 0 périodes ) est égal à K facteur de 1 + t le tout exposant période au négatif.

 

ou

t désignant le taux d’actualisation, la valeur actuelle d’un capital unique C, n périodes avant, est donnée par la formule :

C0 = C(1 +1) puissance -n

 

 

Actualisation d’une suite de sommes constantes versées en fin de période

Une somme constante est versée à la fin de chaque période (s’il s’agit d’années, la première somme est versée à la fin de la première année).

On a donc

V0=a(1+t)puissance-1+a(1+t)puissance-2+a(1+t)puissance-3+a(1+t)puissance-n

forumule-actualisation-suite-sommes-constantes-versees-en-fin-de-periode

V0=a (1-(1+t)puissance-n)/t

Si les versements sont effectués en début de période la formule devient

forumule-actualisation-suite-sommes-constantes-versees-en-debut-de-periode

V0=a ((1-(1+t)puissance-n)/t) (1+t)

 

 

 

On peut dire que le montant de l’emprunt est égal à la valeur des annuités, actualisées au taux de l’emprunt.

annuités constantes= montant de l’emprunt * taux d interet /(1-(1+taux)puissance-nombre année)

exemple:

Considérons un emprunt de 100 000 € au taux de 5 % remboursable par annuités constantes de fin de période pendant 6 ans.

QUESTIONS

  1. Calculer le montant de l’annuité constante. rappel, la formule est

annuités constantes= montant de l’emprunt * taux d interet /(1-(1+taux)puissance-nombre année)

  1. Calculer la valeur de la dette 4 ans avant l’échéance (à la fin de la deuxième année).

SOLUTION

Annuité constante :

100 000 * 0,05 /(1-1,05puissance -6)=19701,74€

L’entreprise versera 19 701,74 € à la banque à la fin de chaque année pendant 6 ans.

Montant de la dette la fin de la deuxième année (après le versement de la 2e annuité) : À cette date, il reste encore 4 annuités à verser. Le montant de l’emprunt restant dû peut être déterminé en actualisant ces 4 annuités au taux de l’emprunt

V0=a (1-(1+t)puissance-n)/t

Vo=19701,74 * (1-1,05puissance-4)/0,05=69861,39

À la fin de la deuxième année, la valeur de la dette est de 69 861,39 € (montant à verser si l’entreprise décidait de rembourser son emprunt à cette date).

Actualisation d’une somme sur une durée non déterminée ou infinie

 

Il peut arriver que le flux d’un titre restent autant de temps que le titre est à nous : auquel cas le dividende de fin de période est dit constant. Il s’agit alors d’une rente, c’est vraiment très intéressant financièrement parlant, surtout si la rente suit l’inflation.

La formule

forumule-actualisation-suite-sommes-constantes-versees-en-fin-de-periode

si n tend vers l’infinie (voir les limites, cours de lycée). Alors (1+t)puissance-n se rapproche (on dit il tend) vers 0 donc si n est infinie la formule se simplifie par

V0=revenu/t

exemple j’achète une action qui donne 10€ indéfiniment , le taux est de 5%, quelle est la valeur de cette action?

V0=10/0,05 = 200

 

 

 Le taux de rendement actuariel

 

Il peut parfois arriver que vous ayez toutes les connaissances de l’opération sauf une : le taux de cette opération. Si tel est le cas, il suffit de faire varier l’inconnue du thème précédent.

Le taux de rendement actuariel t d’un placement correspond au gain obtenu pendant la durée de ce placement exprimé sous la forme d’un taux annuel.

 Le point vocabulaire

  • Cette inconnue correspond au taux de rendement actuarial du placement concerné. Pour ce taux, il y a équivalence entre la somme placée (ou investie) et la valeur actuelle des versements reçus en contrepartie.En clair, elle est le total des gains faits pendant le placement que l’on donnera sous la forme d’un taux  .

 

Des formules

Une seule valeur

Exemple: Vous prêtez 10000 euros et on vous promet 11000 dans 3 ans, quel est le taux?

vous pouvez partir de

10000=11000(1+t)puissance-3

ou de 10000*(1+t)puissance3 =11000

10000=11000(1+t)puissance-3 équivaut à 10000/11000=(1+t)puissance3 équivaut à t=(11000/10000)(puissance 1/3 )   -1=3,23%

t=(somme final/somme initiale)(puissance 1/n )   -1

Cas avec multiple flux

Il va falloir essayer soit avec excel, soit par tâtonnement…

 Montant à verser pour Obtenir un taux de rendement désiré connu

 

  • Partons du principe que l’on connaît les versements qui seront obtenus ainsi que le taux de rendement que l’on voudrait, il ne nous reste plus qu’à trouver le montant de base qu’il faut verser

 

En clair : ce qui est versé au départ et ce qui sera reçu plus tard en compensation permettent d’obtenir le taux de rendement de l’opération

Dans le cas où le taux de rendement est préalablement imposé, alors le seul point susceptible de varier est le montant de base.

 

Si l’on fait une actualisation des montants que l’on attend, on peut trouver le montant nécessaire à placer.

 

 

Grâce à l’actualisation, on peut trouver, à condition de connaître les autres éléments :

  • soit la valeur  d’une somme ou suite de sommes à sa date de base ;
  • soit le taux de rendement obtenu d’un placement ;

  • soit le montant des versements constants à effectuer pour obtenir un taux de rendement donné.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vous souhaitez en savoir plus ?

 

  • Pour que deux taux soient proportionnels, il faut que le rapport qui les lie soit égal au rapport des périodes correspondants.
    • Exemple

 

  • Pour que deux taux soient équivalents, il faut que lorsqu’on les utilise sur un même capital pendant une même période, leurs résultats soient égaux
    • Exemple

 

  • Les banques utilisent des taux qui sont proportionnels aux taux annuels ou aux taux d’une période donnée lorsque des versement sont effectués avant la fin de cette période. Ceci revient donc à faire utiliser un taux annuel équivalent qui sera plus fort que l’officiellement annoncé.

 

 

 

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